已知：如图，正三角形ABC中，P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，M为RC上任意一点，△PMS为正三角形．求证：RM=QS．

题型：不详难度：来源：

已知：如图，正三角形ABC中，P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，M为RC上任意一点，△PMS为正三角形．求证：RM=QS．

答案

证明：连接PR、PQ，∵P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，
∴PQ=

1

2

BC，PR=

1

2

AC，
∴PQ=PR，
∵∠APQ=∠BPR=60°，
∴∠RPQ=180°-2×60°=60°，
又∵∠QPS=∠MPS-∠MPQ=60°-∠MPQ，
∠RPM=∠RPQ-∠MPQ=60°-∠MPQ，
∴∠QPS=∠RPM，
在△PRM与△PQS中，

PQ=PR ∠QPS=∠RPM PS=PM

，
∴△PRM≌△PQS（SAS）．
∴RM=QS．