已知:如图,点C在线段AB上,以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN,连接AN、BM,分别交CM、CN于点P、Q.求证:PQ∥AB.

已知:如图,点C在线段AB上,以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN,连接AN、BM,分别交CM、CN于点P、Q.求证:PQ∥AB.

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已知:如图,点C在线段AB上,以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN,连接AN、BM,分别交CM、CN于点P、Q.求证:PQAB.魔方格
答案
证明:∵△ACM和△BCN都是正三角形,
∴∠ACM=∠BCN=60°,AC=CM,BC=CN.
∵点C在线段AB上,
∴∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°.
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN=120°.
即∠NCA=∠BCM=120°.
∵在△ACN和△MCB中,





AC=CM
∠ACN=∠BCM
CN=CB

∴△ACN≌△MCB(SAS).
∴∠ANC=∠MBC.
∵在△PCN和△QCB中,





∠ANC=∠MBC
∠MCN=∠BCN
CN=CB

∴△PCN≌△QCB(AAS).
∴PC=QC.
∵∠PCQ=60°,
∴△PCQ是等边三角形.
∴∠PQC=60°,
∴∠PQC=∠QCB.
∴PQAB.
举一反三
如图,将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形,再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形,…如此继续下去,结果如下表,则an=______(用含n的代数式表示).
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3
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A.2


3
B.3


3
C.


3
D.4
魔方格
如图,已知△ABC是等边三角形,OEAB,OFAC,你认为△OEF是什么三角形?请说明理由.魔方格
已知∠AOB=30°,点P在OA上,且OP=2,点P关于直线OB的对称点是Q,求PQ之长.
如图,AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高.M、N分别在AD、BE的延长线上,∠CBM=∠ACN.求证:AM=BN.魔方格