CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,
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CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α. (1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题: ①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°, 则BE_________CF;EF_________|BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”); ②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立. (2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明). |
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答案
解:(1)①∵∠BCA=90°,∠ α=90°, ∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°, ∴∠CBE=∠ACF, ∵CA=CB,∠BEC=∠CFA; ∴△BCE≌△CAF, ∴BE=CF;EF=|BE﹣AF|. ②所填的条件是:∠α+∠BCA=180°. 证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α. ∵∠BCA=180°﹣∠α, ∴∠CBE+∠BCE=∠BCA. 又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA, ∴∠CBE=∠ACF, 又∵BC=CA,∠BEC=∠CFA, ∴△BCE≌△CAF(AAS) ∴BE=CF,CE=AF, 又∵EF=CF﹣CE, ∴EF=|BE﹣AF|. (2)EF=BE+AF. |
举一反三
如图1,两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起,并且有公共的直角顶点O. (1)在图1中,你发现线段AC、BD的数量关系是( );直线AC、BD相交成角的度数是( )。 (2)将图1的△OAB绕点O顺时针旋转90°角,在图2中画出旋转后的△OAB. (3)将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角,连接AC、BD得到图3,这时(1)中的两个结论是否成立?作出判断并说明理由.若△OAB绕点O继续旋转更大的角时,结论仍然成立吗?作出判断,不必说明理由. |
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如图,A、C、B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中,正确结论的个数是 |
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A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 |
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BD⊥CE,AE⊥CE,垂足分别为D、E,猜想图中线段DE、AE、DB之间的关系,并说明理由. |
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如图,A,B两点位于一个池塘的两端,小丽想用绳子测量A、B间距离,但是绳不够长.你能帮她设计测量方案吗?如不能,说明困难在哪里;如果能,写出方案,并说明其中的道理. |
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如图,已知∠AOB=120°,OM平分∠AOB,将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上,两边分别与OA、OB(或其所在直线)交于点C、D. (1)如图①,当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时,证明:PC=PD. (2)如图②,当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时,线段PC和PD相等吗?请说明理由. (3)如图③,当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时,线段PC和PD相等吗?直接写出你的结论,不需证明. |
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