如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1、l2、l3、l4 上,这四条直线中:相邻两条之间的距离依次为 h1、h2、h3(h1>0,h2>0 , h3 >0) .
(1)求证:h1 = h3;
(2)设正方形ABCD的面积为 S,求证:S=(hl+h2)2 +h12;
(3)若hl+ h2 = 1,当 h1变化时. 说明正方形ABCD 的面积S 随h1 的变化情况.
解: (1)过A点作AF⊥l3 分别交 12、13 于点 E、F,过C点作CG⊥l3 交l2 于点G,
∵l2 //l1,
∴∠2 =∠3,
∵∠1+∠2= 90°,∠4+∠3 =90°,
∴∠1=∠4 又∵∠BEA = ∠DGC=90°,BA=DC,
∴△BEA≌△DGC,
∴AE= CG,即h1=h3.
(2) ∵∠FAD +∠3 = 90° . ∠4 + ∠3 =90°
∴∠FAD =∠4 又
∵ ∠AFD=∠DGC 90°, AD =DC,
∴△AFD≌△DGC.
∴DF=CG,
∵AD2=AF2+FD2,
∴S=(hl +h2)2 +h12.
(3)由题意.得
所以=又,
解得
∴当 0< h1<时,S随h1的增大而减小;
当h1=时.S取得最小值;
当时,S随h1的增大而增大.
数学课堂上,徐老师出示了一道试题:如图所示,在正三角形ABC中M是BC边(不含端点B,C)上任意一点.P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点,若∠AMN=60°,求证:AM=MN。
(1)经过思考,小明展示了一种正确的证明过程,请你将证明过程补充完整。证明:在AB上截取EA=MC,连接EM,得△AEM
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN,∠2=180°-∠AMB-∠B,∠AMN=∠B=60°,
∴∠1=∠2
又∵CN平分∠ACP,
∴∠4=∠ACP=60°
∴∠MCN=∠3+∠4=120° ①
又∵BA=BC,EA=MC,
∴BA-EA=BC-MC
即:BE=BM
∴△BEM为等边三角形
∴∠6=60°
∴∠5=180°-6=120°。②
由①②得∠MCN=∠5
在△AEM和△MCN中
∴( ),( ),( ),
∴△AEM≌△MCN(ASA)
∴AM=MN。
(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图),N1是∠D1C1P1的平分线上一点,则当∠A1M1N1=90°时,结论A1M1=M1N1是否还成立?
(3)若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”,请你猜想:当∠AnMnNn=( )时,结论AnMn=MnNn仍然成立?(直接写出答案,不需要证明)
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