在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、

题型：浙江省同步题难度：来源：

在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是（    ）；此时=（    ）；
（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（    ）（用x、L表示）．

答案

解：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又△ABC是等边三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中：
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC﹣∠MDN=60°．
在△MDN与△EDN中：，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周长Q
=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等边△ABC的周长L=3AB．
∴．
（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，
则Q=2x+（用x、L表示）．