如图，已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是BC的中点，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：ME=MF。

题型：同步题难度：来源：

如图，已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是BC的中点，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。
求证：ME=MF。

答案

证明：∵∠A=90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
∴四边形AEPF为矩形，
∴AF=EP
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=45°
∵PE⊥AB于E，∠EPB=45°，
∴∠B=∠EPB
∴BE=EP
∴BE=AF
∵直角△ABC中，∠BAC=90°
M为BC边中点
∴
即AM=BM
∵AB=AC，M为BC中点，
∴AM平分∠BAC
∴∠MAF=45° 
∴∠MAF=∠B
在△AMF与△BME中，
∵AF=BE，∠MAF=∠B，AM=BM
∴△AMF≌△BME  
∴ME=MF。