如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平

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如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

答案

解：（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC，
∴△BAD≌△CBE，
∴AD=BE；
（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA，
由（1）AD=BE得：AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7，
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE，
即，AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角（CD=BD），
理由如下：由（2）得：CD=CE，
由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD，
∴△DBC是等腰三角形。

举一反三

如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG。

（1）求证：BE=DG；
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由。

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九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60°，请证明：∠NOC=60°。
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=______，且∠DON=______度。
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=______，且∠EON=______度。
（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论，请大胆猜测，用一句话概括你的发现：_______。

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已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E。
（1）求证：AE=BE；
（2）若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长。

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已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC。

（1）求证：BE=DG；
（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论。

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在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。

⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。
⑶若CD=2，求四边形BCFE的面积。

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