解:(1)CD=BE;理由如下 ∵△ABC和△ADE为等边三角形, ∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°, ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC, ∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC, ∴∠BAE=∠DAC, ∴△ABE≌△ACD, ∴CD=BE; (2)△AMN是等边三角形;理由如下: ∵△ABE≌△ACD, ∴∠ABE=∠ACD, ∵M、N分别是BE、CD的中点, ∴BM=, ∵AB=AC,∠ABE=∠ACD, ∴△ABM≌△ACN, ∴AM=AN,∠MAB=∠NAC, ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°, ∴△AMN是等边三角形, 设AD=a,则AB=2a, ∵AD=AE=DE,AB=AC, ∴CE=DE, ∵△ADE为等边三角形, ∴∠DEC=120°,∠ADE=60°, ∴∠EDC=∠ECD=30°, ∴∠ADC=90°, ∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30°, ∴CD=, ∵N为DC中点, ∴, ∴, ∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形, ∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN=。 |
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