如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α&

如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α&

题型:福建省中考真题难度:来源:
如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°)。
(1)求证:∠EAP=∠EPA;
(2)□APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点),猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论。
答案
解:(1)在ΔABC和ΔAEP中,
∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∴∠ACB=∠APE,
在ΔABC中,AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴∠EPA=∠EAP;
(2) 答:□APCD是矩形,
∵四边形APCD是平行四边形,
∴AC=2EA,PD=2EP,
∵由(1)知 ∠EPA=∠EAP,
∴EA=EP,则AC=PD,
∴□APCD是矩形;
(3)答:EM=EN,
∵EA=EP,
∴∠EPA=90°-α,
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°-α)=90°+α,
由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,
∴FP=FB,
∴∠FPB=∠ABC=α,
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-α+α=90°+α,
∴∠EAM=∠EPN,
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∴∠AEP=∠MEN,
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN,
即∠MEA=∠NEP,
∴ΔEAM≌ΔEPN,
∴EM=EN。
举一反三
如图,AD∥BC,∠A=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交射线AD与点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,求证:AB=FC。
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如图,正方形被划分成16个全等的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足条件:
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的
(2)涂黑部分成中心对称图形,请在图(1)、(2)中设计两种不同涂法。(若图(1)与图(2)中所涂黑部分全等,则认为是同一种涂法)
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(1)如图1,PA,PB分别与圆O相切于点A,B。求证:PA=PB。
(2)如图2,过圆O外一点P的两条直线分别与圆O相交于点A、B和C、D。则当___________时,PB=PD。(不添加字母符号和辅助线,不需证明,只需填上符合题意的一个条件)
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如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4cm,则点P到BC的距离是(    )cm。
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如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连结PA、PB、PC、PD。
(1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;
(2)若cos∠PCB=,求PA的长。
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