如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合,得到△PEA,连结EB,问△ABE是什么特殊三角形?请说明理由。

如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合,得到△PEA,连结EB,问△ABE是什么特殊三角形?请说明理由。

题型:湖北省中考真题难度:来源:
如图,P是矩形ABCD下方一点,将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合,得到△PEA,连结EB,问△ABE是什么特殊三角形?请说明理由。
答案
解:△ABE是等边三角形,理由如下:
由旋转得△PAE≌△PDC,
∴CD=AE,PD=PA,∠1=∠2,
∵∠DPA=60°,
∴△PDA是等边三角形,
∴∠3=∠PAD=60°,
由矩形ABCD知,CD=AB,∠CDA=∠DAB=90°,
∴∠1=∠4=∠2=30°,
∴AE=CD=AB,∠EAB=∠2+∠4=60°,
∴△ABE为等边三角形。
举一反三
如图,D、E分别是AB、AC上的点,且AB=AC,AD=AE。求证:∠B=∠C。
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(1)如图1,在△ABC中,点D、E、Q分别在AB,AC,BC上,且DE//边长,AQ交DE于点P,求证:
(2)如图,△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点。①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;②如图3,求证:MN2=DM·EN。
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(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数;
(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由;
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=,求AG,MN的长。
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数学课堂上,徐老师出示一道试题:
如图1所示,在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点,若∠AMN=60°,求证:AM=MN。
(1)经过思考,小明展示了一种正确的证明过程,请你将证明过程补充完整,
证明:在AB上截取EA=MC,连结EM,得△AEM,
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN,∠2=180°-∠AMB-∠B,∠AMN=∠B=60°,
∴∠1=∠2,
又CN平分∠ACP,∠4=∠ACP=60°,
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…………①
又∵BA=BC,EA=MC,
∴BA-EA=BC-MC,即BE=BM,
∴△BEM为等边三角形,
∴∠6=60°,
∴∠5=180°-∠6=120°………②
∴由①②得∠MCN=∠5,
在△AEM和△MCN中,
∵____________________,
∴△AEM≌△MCN (ASA),
∴AM=MN;
(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图2),N1是∠D1C1P1的平分线上一点,则当∠A1M1N1=90°时,结论A1M1=M1N1,是否还成立?(直接写出答案,不需要证明)
(3) 若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”,请你猜想:当∠AnMnNn=_____°时,结论AnMn=MnNn仍然成立?(直接写出答案,不需要证明)
题型:湖南省中考真题难度:| 查看答案
已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,DE=DC。
求证:AB=AC。
题型:江苏中考真题难度:| 查看答案
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