如图1,△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。(

如图1,△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。(

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如图1,△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。
(1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由;
(2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长;
(3)若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其他条件不变,此时(1)中的结论是否还成立,在图2中画出图形,并说明理由。
答案
解:(1)BM+CN=MN
证明:如图,延长AC至M1,使CM1=BM,连结DM1
Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠M1DN=∠MDN=60°
∴△MDN≌△M1DN
∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB (2)利用(1)中的结论得出:
△AMN的周长=AM+MN+AN
=(AM+BM)+(NC+AN)
=2+2=4。(3)CN-BM=MN
证明:如图,在CN上截取,使CM1=BM,连结DM1
∵∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°
∴∠DBM=∠DCM1=90°
∵BD=CD
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC  
DM=DM1
∵∠BDM+∠BDN=60°
∴∠CDM1+∠BDN=60°
∴∠NDM1=∠BDC-(∠M1DC+∠BDN)=120°-60°=60°
∴∠M1DN=∠MDN 
∵AD=AD
∴△MDN≌△M1DN
∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB
举一反三
下列说法中不正确的是[     ]
A.全等三角形的对应高相等
B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形的周长相等
D.周长相等的两个三角形全等
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如图,AB=AD,AE=AC,∠1=∠2,求证:BC=DE。

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如图,已知:∠1=∠2,∠3=∠4,要证BD=CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是(    )再证△BDE≌△(    ), 根据是(    )。
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如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=(    )。
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已知△ABC≌△DEF,且∠A=70°,∠B=30°,∠F=(    )。
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