如图所示,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ。(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并
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如图所示,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ。 (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论; (2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由。 |
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答案
解:(1)猜想:AP=CQ, 证明:∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°, ∴∠ABP=∠QBC, 又AB=BC,BQ=BP, ∴△ABP≌△CBQ, ∴AP=CQ; (2)由PA:PB:PC=3:4:5,可设PA=3a,PB=4a,PC=5a, 连接PQ,在△PBQ中由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°, ∴△PBQ为正三角形, ∴PQ=4a, 于是在△PQC中 ∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2 ∴△PQC是直角三角形。 |
举一反三
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形,使C点与AB边上的一点D重合,当∠A满足什么条件时,点D恰为AB中点?写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证明D为AB中点。 |
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CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠。 (1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题: ①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE( )CF;EF( )|BE-AF|(填“>”,“<”或“=”); ②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件( ),使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立; (2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想。(不要求证明) |
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如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论: ①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③ AC=DN;④∠DAE=∠DBC。 其中正确的有( )。(填序号) |
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如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D, 求证:OC=OD。 |
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如图1,△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。 (1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由; (2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长; (3)若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其他条件不变,此时(1)中的结论是否还成立,在图2中画出图形,并说明理由。 |
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