在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示;抛物线y=ax2+ax-2经过点B

在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示;抛物线y=ax2+ax-2经过点B

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在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示;抛物线y=ax2+ax-2经过点B。
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D


又∵
∴△≌△
=OC=1,
∴点B的坐标为(-3,1);
(2)抛物线经过点B(-3,1),则得到
解得
所以抛物线解析式为
(3)假设存在P、Q两点,使得△ACP是直角三角形
①若以AC为直角边,点C为直角顶点
则延长至点,使得,得到等腰直角三角形△
过点




可求得点P1(1,-1);
②若以AC为直角边,点A为直角顶点
则过点A作,且使得
得到等腰直角三角形△,过点P2,同理可证△≌△

可求得点P2(2,1)。
举一反三
如图在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点。求证:PA=PD。
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已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE。
求证:(1)BD=FC;
(2)AB∥CF。
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已知:如图,AE=BF,AD∥BC,AD=BC。AB、CD交于O点。求证:OE=OF。
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已知:如图,E是AD上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE。求证:∠B=∠CAE。
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已知:四边形ABCD中,AC、BD交于O点,AO=OC,BA⊥AC,DC⊥AC。垂足分别为A,C。求证:AD=BC。 
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