试题分析:(1)①根据矩形的性质和已知条件得出∠HAE=45°,再根据HA=HG,得出∠HAE=∠HGA,从而得出答案解决: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADH=90°. ∵DH=DA,∴∠DAH=∠DHA=45°.∴∠HAE=45°. ∵HA=HG,∴∠HAE=∠HGA=45° ②分∠AHE为锐角和钝角两种情况讨论即可. (2)过点H作HQ⊥AB于Q,根据矩形的性质得出∠D=∠DAQ=∠AQH=90°,得出四边形DAQH为矩形,设AD=x,GB=y,则HQ=x,EG=2y,由折叠的性质可知∠AEH=∠FEH=60°,得出∠FEG=60°,在Rt△EFG中,根据特殊角的三角函数值求出EG和EQ的值,再由折叠的性质得出AE=EF,求出y关于x的表达式,从而求出AB=2AQ+GB,即可根据比值消去参数x得出a的值. 试题解析:解:(1)①45. ②分两种情况讨论: 第一种情况:如答图1,∠AHE为锐角时, ∵∠HAG=∠HGA=45°,∴∠AHG=90°. 由折叠可知:∠HAE=∠F=45°,∠AHE=∠FHE, ∵EF∥HG,∴∠FHG=∠F=45°. ∴∠AHF=∠AHG∠FHG=45°,即∠AHE+∠FHE=45°. ∴∠AHE=22.5°. 此时,当B与G重合时,a的值最小,最小值是2.
第二种情况:如答图2,∠AHE为钝角时, ∵EF∥HG,∴∠HGA=∠FEA=45°,即∠AEH+∠FEH=45°. 由折叠可知:∠AEH=∠FEH,∴∠AEH=∠FEH=22.5°. ∵EF∥HG,∴∠GHE=∠FEH=22.5°. ∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°. 此时,当B与E重合时,a的值最小, 设DH=DA=x,则AH=CH=x, 在Rt△AHG中,∠AHG=90°,由勾股定理得:AG=AH=2x, ∵∠AEH=∠FEH,∠GHE=∠FEH,∴∠AEH=∠GHE.∴GH=GE=x. ∴AB=AE=2x+x. ∴a的最小值是. 综上所述,当∠AHE为锐角时,∠AHE=22.5°时,a的最小值是2;当∠AHE为钝角时,∠AHE=112.5°时,a的最小值是.
(2)如答图3:过点H作HQ⊥AB于Q,则∠AQH=∠GOH=90°, 在矩形ABCD中,∠D=∠DAQ=90°, ∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°. ∴四边形DAQH为矩形.∴AD=HQ. 设AD=x,GB=y,则HQ=x,EG=2y, 由折叠可知:∠AEH=∠FEH=60°,∴∠FEG=60°. 在Rt△EFG中,EG=EF×cos60°=4y×, 在Rt△HQE中,, ∴. ∵HA=HG,HQ⊥AB,∴AQ=GQ=. ∴AE=AQ+QE=. 由折叠可知:AE=EF,即,即. ∴AB=2AQ+GB=. ∴.
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