如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF.(1)判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论;(2)当△ABC满足什么条件时,

如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF.(1)判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论;(2)当△ABC满足什么条件时,

题型:不详难度:来源:
如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF.

(1)判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?是矩形?
答案
(1)由题意易得△BDE≌△BAC,则可得DE=AC=AF,同理可证EF=AB=AD,即可证得结论;(2)AB=AC时为菱形,∠BAC=150º时为矩形.
解析

试题分析:(1)由题意易得△BDE≌△BAC,则可得DE=AC=AF,同理可证EF=AB=AD,即可证得结论;
(2)AB=AC时,可得ADEF的邻边相等,所以ADEF为菱形,AEDF要是矩形,则∠DEF=90°,由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF,可推出∠BAC=150°时为矩形.
解:(1)四边形ADEF为平行四边形,
∵△ABD和△EBC都是等边三角形,
∴BD=AB,BE=BC;
∵∠DBA=∠EBC=60°,
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
∴∠DBE=∠ABC;
∴△BDE≌△BAC
∴DE=AC=AF
同理可证:△ECF≌△BCA,
∴EF=AB=AD
∴ADEF为平行四边形;
(2)AB=AC时,▱ADEF为菱形,当∠BAC=150°时▱ADEF为矩形.
理由是:∵AB=AC,
∴AD=AF.
∴▱ADEF是菱形.
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC,
∴∠BAC=150°,
∵∠DAB=∠FAC=60°,
∴∠DAF=90°,
∴平行四边形ADEF是矩形.
点评:特殊四边形的判定和性质是初中数学的重点,贯穿于整个初中数学的学习,是中考中比较常见的知识点,一般难度不大,需熟练掌握.
举一反三
在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F.

(1)求证:四边形BFDE为平行四边形;
(2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.
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在一个边长为12.75cm的正方形纸板内,割去一个边长为7.25cm的正方形,剩下部分的面积等于______.
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如图,在ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=cm,则EF+CF的长为     cm。

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如图,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8, E是CD的中点,则OE的长等于       .

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如图,在□中,已知平分边于点,则等于
A.2cm B.4cmC.6cmD.8cm

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