解:⑴∵△ABE是等边三角形, ∴BA=BE,∠ABE=60°. ∵∠MBN=60°, ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN. 即∠ABM=∠NBE. 又∵MB=NB, ∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………3分 ⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小. ………………5分 ②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小. ………………7分 理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB, ∴AM=EN. ∵∠MBN=60°,MB=NB, ∴△BMN是等边三角形. ∴BM=MN. ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长. …………8分 ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F, ∴∠EBF=90°-60°=30°. 设正方形的边长为x,则BF=x,EF=. 在Rt△EFC中, ∵EF2+FC2=EC2, ∴()2+(x+x)2=. 解得,x=(舍去负值). ∴正方形的边长为. ………………10分 |