如图,ON为∠AOB中的一条射线,点P在边OA上,PH⊥OB于H,交ON于点Q,PM∥OB交ON于点M,MD⊥OB于点D,QR∥OB交MD于点R,连接PR交QM

如图,ON为∠AOB中的一条射线,点P在边OA上,PH⊥OB于H,交ON于点Q,PM∥OB交ON于点M,MD⊥OB于点D,QR∥OB交MD于点R,连接PR交QM

题型:不详难度:来源:
如图,ON为∠AOB中的一条射线,点P在边OA上,PH⊥OB于H,交ON于点Q,PMOB交ON于点M,MD⊥OB于点D,QROB交MD于点R,连接PR交QM于点S.
(1)求证:四边形PQRM为矩形;
(2)若OP=
1
2
PR,试探究∠AOB与∠BON的数量关系,并说明理由.魔方格
答案
(1)证明:∵PH⊥OB,MD⊥OB,
∴PHMD,
∵PMOB,QROB,
∴PMQR,
∴四边形PQRM是平行四边形,
∵PH⊥OB,
∴∠PHO=90°,
∵PMOB,
∴∠MPQ=∠PHO=90°,
∴四边形PQRM为矩形;

(2)∠AOB=3∠BON.理由如下:
∵四边形PQRM为矩形,
∴PS=SR=SQ=
1
2
PR,
∴∠SQR=∠SRQ,
又∵OP=
1
2
PR,
∴OP=PS,
∴∠POS=∠PSO,
∵QROB,
∴∠SQR=∠BON,
在△SQR中,∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON,
∴∠POS=2∠BON,
∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON,
即∠AOB=3∠BON.
举一反三
如图,在矩形ABCD中,EF垂直平分BD.
(1)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.
(2)已知BD=20,EF=15,求矩形ABCD的周长.魔方格
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下列说法中正确的是(  )
A.四边相等的四边形是正方形
B.等腰梯形的对角互补
C.只有两个直角的四边形是直角梯形
D.矩形的对角线互相垂直
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下列说法正确的是(  )
A.矩形的对角线互相垂直
B.等腰梯形的对角线相等
C.有两个角为直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
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如图,O是菱形ABCD的对角线的交点,作DEAC,CEBD,DE,CE交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形;
(2)若菱形ABCD的周长为20,矩形OCED的周长为14,求菱形ABCD的面积.魔方格
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下列说法中,正确的是(  )
A.等腰梯形的对角线互相垂直且相等
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.正方形的对角线互相垂直且相等
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