如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1) ∠PBA=∠PCQ =(2) PA= PQ.  

题型：专项题难度：来源：

如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：
(1) ∠PBA=∠PCQ =
(2) PA= PQ.  

答案

证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC= ∠BCD= ．
∵△PBC和△QCD是等边三角形，
∴∠PBC= ∠PCB= ∠QCD =，
∵∠BA= ∠ABC - ∠PBC =，∠PCD=  ∠BCD - ∠PCB= ．
∴∠PCQ= ∠QCD - ∠PCD =
∴∠PBA= ∠PCQ =．
  (2)∵AB =DC= QC,∠PBA=∠PCQ,PB= PC,
∴APAB≌△PQC，
∴PA= PQ.