问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合

问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合

题型:山西省中考真题难度:来源:
问题情境:将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由
探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:
解:OM=ON,
证明如下:连接CO,则CO是AB边上中线,
∵CA=CB,
∴CO是∠ACB的角平分线(依据1)
∵OM⊥AC,ON⊥BC,
∴OM=ON(依据2)反思交流:
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:
依据1:                                                                                    
依据2:                                                                                     
(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.
拓展延伸:
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM、ON,试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.
答案
(1)解:等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合),角平分线上的点到角的两边距离相等.
(2)证明:∵CA=CB,
∴∠A=∠B,
∵O是AB的中点,∴OA=OB.
∵DF⊥AC,DE⊥BC,∴∠AMO=∠BNO=90°,
∴在△OMA和△ONB中
∴△OMA≌△ONB(AAS),
∴OM=ON.
(3)解:OM=ON,OM⊥ON.
理由如下:连接CO,则CO是AB边上的中线.
∵∠ACB=90°,∴OC=AB=OB,
又∵CA=CB,
∴∠CAB=∠B=45,∠1=∠2=45°,∠AOC=∠BOC=90°,∴∠2=∠B,
∵BN⊥DE,∴∠BND=90°,
又∵∠B=45°,∴∠3=45°,
∴∠3=∠B,∴DN=NB.
∵∠ACB=90°,∴∠NCM=90°.
又∵BN⊥DE,
∴∠DNC=90°
∴四边形DMCN是矩形,
∵DN=MC,∴MC=NB,∴△MOC≌△NOB(SAS),
∴OM=ON,∠MOC=∠NOB,
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON,
即∠MON=∠BOC=90°,∴OM⊥ON.
举一反三
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC垂足是D,AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足是E,连接DE交AC于F.
①求证:四边形ADCE为矩形;
②求证:DF∥AB,DF=
③当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE为正方形,简述你的理由.
题型:广东省同步题难度:| 查看答案
如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,求PE+PF的值.
题型:广东省同步题难度:| 查看答案
如图:在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P为AD上任一点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF=(         ).
题型:浙江省月考题难度:| 查看答案
菱形ABCD的对角线交于O点,DE∥AC,CE∥BD,求证:四边形OCED是矩形.
题型:福建省期中题难度:| 查看答案
如图,已知△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,AE是∠BAC的外角平分线,CE⊥AE于点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)求证:四边形ABDE为平行四边形。
题型:广东省期末题难度:| 查看答案
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