问题背景小明以一个等腰三角形ABC的两腰AB、AC为边,分别向两旁作等边三角形ABD和等边三角形ACE,以底边BC为边向上作等边三角形FBC(如图1),在顺次连
题型:河北省模拟题难度:来源:
问题背景 小明以一个等腰三角形ABC的两腰AB、AC为边,分别向两旁作等边三角形ABD和等边三角形ACE,以底边BC为边向上作等边三角形FBC(如图1),在顺次连接A、D、F、E四边形ADFE是一个特殊的四边形。 任务要求 (l)试判断四边形ADFE的形状,并证明; (2)将△ABC的形状改为任意三角形(AB、BC、AC均不相等),在采用上述相同的作法后(如图2),判断四边形ADFE的形状,并证明 联系拓广 (3)在得出上述结论后,他进一步提出,当△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是矩形?△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是正方形?请你作出回答并说明理由.
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答案
解:(l)四边形ADFE是菱形. 证明:∵△ABD是等边三角形, ∴BD =AB,∠DBA =60°, 同理BC= BF,∠FBC= 60°. ∴∠DBF= ∠ABC, ∴△DBF≌△ABC. ∴DF=AC =AE, 同理可证△BCA≌△FCE, ∴EF =AB =AD. 又AB =AC, ∴DF =EF =AE =AD,∴四边形ADFE是菱形 (2)四边形ADFE是平行四边形. 证明:∵△ABD是等边三角形, ∴B =AB,∠DBA =60°, 同理BC =BF,∠FBC =60°. ∴∠DBF=∠ABC∴△DBF≌△ABC, ∴DF =AC= AE, 同理可证△ECF≌△ACB∴EF =AB =AD. ∴四边形ADFE是平行四边形. (3)当∠BAC= 150°时,四边形ADFE是矩形. 理由:当四边形ADFE是矩形时,∠DAE =90°. ∵∠DAB= ∠EAC= 60°. ∴∠BAC =360°- 90°- 60°- 60°=150°. ∴当△ABC满足∠BAC= 150°时,四边形ADFE是矩形. 当∠BAC= 150°且AB =AC时,四边形ADFE是正方形 理由:∵四边形ADFE是正方形, ∴∠BAC= 150°,AD=AE, 结合上面的过程,易知AB =AC. ∴当△ABC满足∠BAC= 150°且AB=AC时,四边形ADFE是正方形。 |
举一反三
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