如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H。
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由。

答案

解：（1）四边形EFGH是菱形；
（2）成立，
理由：连接AD，BC，
∵
∴
即
又∵，
∴（SAS）
∴
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，
∴分别是的中位线，
∴
∴
∴四边形EFGH是菱形；
（3）补全图形，如答图，
判断四边形EFGH是正方形，
理由：连接，
∵（2）中已证，
∴，
∴
∴
又∵，
∴，
∴
∵（2）中已证GH，EH分别是的中位线，
∴
∴
又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形。