如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A。∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A。∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点。
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想。

答案

解：（1） AE=AD；
（2）菱形；
连接DF、EF，
∵点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，
∴AE=FE，AD=FD，
由（1）得AE=AD，
∴AE=FE=AD=FD，
∴四边形ADFE是菱形；
（3）OC= AC+AD；
证明：连接EF；
∵点F与点A关于直线OP对称，
∴AO=OF，
∵AC⊥OM，∠MON=45°，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACO=∠MON=45°，
∴OF=AO=AC，
由（2）知四边形ADFE是菱形，
∴EF∥AB，AD=EF，
∵AB⊥ON，
∴∠ABC=90°，
∴∠EFC=∠ABC=90°，
∵∠ACO=45°
∴∠ACO=∠CEF，
∴FC=EF=AD，
又∵OC=OF+FC，
∴OC=AC+AD。