在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,BA为半径作弧AC,F为AC上的一动点,过点F作⊙B的切线交AD于点P,交DC于点Q.(1)求证△DPQ的周长等于正

在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,BA为半径作弧AC,F为AC上的一动点,过点F作⊙B的切线交AD于点P,交DC于点Q.(1)求证△DPQ的周长等于正

题型:不详难度:来源:
在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,BA为半径作弧
AC
,F为
AC
上的一动点,过点F作⊙B的切线交AD于点P,交DC于点Q.
(1)求证△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半;
(2)分别延长PQ、BC,延长线相交于点M,设AP长为x,BM长为y,试求出y与x之间的函数关系式.
答案
(1)证明:∵正方形ABCD,
∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°,
即AB=BC=CD=AD,AB⊥AD,BC⊥CD,
∴DA和CD都是圆B的切线,
∵PQ切圆B于F,
∴AP=PF,QF=CQ,
∴△DPQ的周长是DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD,
∵正方形ABCD的周长是AD+AB+CD+BC=2AD+2CD,
∴△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半.

(2)在Rt△PDQ中,由勾股定理得:DP2+DQ2=PQ2
∴(4-x)2+(4-CQ)2=(X+CQ)2
解得:CQ=
16-4x
x+4

DQ=4-
16-4x
x+4
=
8x
x+4

∵正方形ABCD,
∴ADBC,
∴△PDQ△MCQ,
DP
CM
=
DQ
CQ

4-x
y-4
=
8x
x+4
16-4x
x+4

∴y=
8
x
+
1
2
x,
y与x之间的函数关系式是y=
8
x
+
1
2
x.
举一反三
如图,已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上的一点,过点A作AG⊥BE,垂足为G,AG交BD于点F.
①试说明OE=OF;
②若点E在AC的延长线上,AG⊥BE,交EB延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,若其他条件不变,请作图,结论OE=OF仍成立吗?请说明你的理由.
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附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形,其中D、E两点分别在AB、BC上,且BD=BE.若AC=18,GF=6,则F点到AC的距离为何?(  )
A.2B.3C.12-4


3
D.6


3
-6

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如图,设正方形ABCD的边长为2,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…,根据以上规律写出的表达式:an=______.
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如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B、D作BE⊥a于点E、DF⊥a于点F,若BE=4,DF=3,求EF的长及正方形的面积.(注:正方形的四边都相等,四个角都是直角)
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操作示例:
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH,按图1所示的方式摆放,在沿虚线BD,EG剪开后,可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED.
从拼接的过程容易得到结论:
①四边形BNED是正方形;
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED
实践与探究:
(1)对于边长分别为a,b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH,按图2所示的方式摆放,连接DE,过点D作DM⊥DE,交AB于点M,过点M作MN⊥DM,过点E作EN⊥DE,MN与EN相交于点N;
①证明四边形MNED是正方形,并用含a,b的代数式表示正方形MNED的面积;
②在图2中,将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后,能够拼接为正方形MNED,请简略说明你的拼接方法(类比图1,用数字表示对应的图形);
(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接成为一个正方形?请简要说明你的理由.
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