如果正方形的一边落在三角形的一边上,其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上,则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.(1)如图①,在△ABC中,BC=a,BC边上
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如果正方形的一边落在三角形的一边上,其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上,则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.(1)如图①,在△ABC中,BC=a,BC边上
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如果正方形的一边落在三角形的一边上,其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上,则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.
(1)如图①,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h
a
,EFGH是△ABC的内接正方形.设正方形EFGH的边长是x,求证:
x=
a
h
a
a+
h
a
;
(2)在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90度.请在图②,图③中分别画出可能的内接正方形,并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大;
(3)在锐角△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且a<b<c.请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大?并说明理由.
答案
(1)∵HG
∥
BC,
∴△AHG
∽
△ABC,
∴AM:AD=HG:BC,
∴(h
a
-x):h
a
=x:a,
a(h
a
-x)=h
a
x,
ah
a
-ax=h
a
x,
(a+h
a
)x=ah
a
,
∴
x=
a
h
a
a+
h
a
;
(2)根据(1)的结果,当图②的情况,BC=
A
B
2
+A
C
2
=5,则AD=
12
5
,
此时正方形的边长是:
5×
12
5
5+
12
5
=
60
37
;
当图③时,正方形的边长是
3×4
3+4
=
12
7
,
故③的情况面积大.
(3)根据(1)的结果,设三角形的面积是S,则S=
1
2
ah
a
,则x=
S
2(a
+h
a
)
,
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时,a+h
a
最小,则x最大,内接正方形的面积最大.
举一反三
如图,在△ABC中,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,且DE
∥
AC,DF
∥
AB.
(1)如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是______形;
(2)若四边形AEDF是正方形,则△ABC中需满足______.
题型:不详
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如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD与EF的交点.
(1)求证:△BCF≌△DCE;
(2)若BC=5,CF=3,∠BFC=90°,求DG:GC的值.
题型:不详
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在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使EC=AC,连接AE交CD于F,那么∠AFC等于______°;若AB=2,那么△ACE的面积为______.
题型:不详
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在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,BA为半径作弧
AC
,F为
AC
上的一动点,过点F作⊙B的切线交AD于点P,交DC于点Q.
(1)求证△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半;
(2)分别延长PQ、BC,延长线相交于点M,设AP长为x,BM长为y,试求出y与x之间的函数关系式.
题型:不详
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如图,已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上的一点,过点A作AG⊥BE,垂足为G,AG交
BD于点F.
①试说明OE=OF;
②若点E在AC的延长线上,AG⊥BE,交EB延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,若其他条件不变,请作图,结论OE=OF仍成立吗?请说明你的理由.
题型:不详
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