点E为正方形ABCD的对角线上一点,连接DE,BE并延长交AD于点F,DE⊥EG交BC于G,下列结论:①△BEC≌△DEC;②∠BED=120°时,EF平分∠A

点E为正方形ABCD的对角线上一点,连接DE,BE并延长交AD于点F,DE⊥EG交BC于G,下列结论:①△BEC≌△DEC;②∠BED=120°时,EF平分∠A

题型:不详难度:来源:
点E为正方形ABCD的对角线上一点,连接DE,BE并延长交AD于点F,DE⊥EG交BC于G,下列结论:
①△BEC≌△DEC;②∠BED=120°时,EF平分∠AED;③EG=ED;④BG=


2
AE;⑤当点G为BC的中点时,DF=2AF.
其中正确的有:______.
答案
∵四边形ABCD为正方形,
∴CB=CD,∠BCE=∠DCE=45°,
在△BEC和△DEC中DCE,





CB=CD
∠BCE=∠DCE
CE=CE

∴△BEC≌△DEC(SAS),故①正确;

∴∠BEC=∠DEC,
当∠BED=120°时,∠DEC=
1
2
×120°=60°,
∠DEF=180°-∠BED=180°-120°=60°,
所以,∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°,
所以,∠AEF=∠DEF,
即EF平分∠AED,故②正确;

如图,过E作MNAB交正方形于M、N,PQAD交正方形于P、Q,
则四边形EMCP、四边形AQEN都为正方形,
∵EG⊥DE,
∴∠DEP+∠PCG=90°,
又∵∠GEN+∠PCG=90°,
∴∠DEP=∠GEM,
在△DEP和△GEM中,





∠DEP=∠GEM
EP=EM
∠EMG=∠EPD=90°

∴△DEP≌△GEM(ASA),
∴EG=ED,故③正确;

∵△BEC≌△DEC,
∴ED=EB,
∴EB=EG,
∵EM⊥BG,
∴BG=2BM,
∵BM=AN,
又∵AN=


2
2
AE,
∴BG=2×


2
2
AE=


2
AE,故④正确;

当点G为BC的中点时,设正方形AQEN的边长为x,
则BG=2BM=2x,BC=2BG=4x,
∴AB=BC=4x,
由MNAB得,△ABF△NEF,
NE
AB
=
NF
AF

x
4x
=
AF-x
AF

解得AF=
4
3
x,
所以,DF=4x-
4
3
x=
8
3
x,
∴DF=2AF,故⑤正确,
综上所述,正确的有①②③④⑤.
故答案为:①②③④⑤.
举一反三
如图,在正方形ABCD,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=
1
4
BC.
(1)求证:AF⊥EF;
(2)若△AEF的面积为5,求正方形ABCD的边长.
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如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点,AF⊥BE于点F,交BD于点G,则下述结论中不成立的是(  )
A.AG=BEB.△ABG≌△BCEC.AE=DGD.∠AGD=∠DAG

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如图,四边形ABCD是正方形,△CDE是正三角形,则∠AEB的度数为______度.
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四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,则下列几组条件中能判定它是正方形的是______.(只需要填上序号)
①AB=BC=CD=DA,AC=BD;
②AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,AB⊥BC;
③四边形ABCD是矩形,并且BC⊥CD;
④四边形ABCD是菱形,并且AC=BD.
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如果正方形的一边落在三角形的一边上,其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上,则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.
(1)如图①,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=ha,EFGH是△ABC的内接正方形.设正方形EFGH的边长是x,求证:x=
aha
a+ha

(2)在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90度.请在图②,图③中分别画出可能的内接正方形,并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大;
(3)在锐角△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且a<b<c.请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大?并说明理由.
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