一个纸质的正方形“仙人掌”,假设“仙人掌”在不断地生长,新长的叶子是“缺角的正方形”,这些“正方形”的中心在先前正方形的角上,它们的边长是先前正方形的一半(如图
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一个纸质的正方形“仙人掌”,假设“仙人掌”在不断地生长,新长的叶子是“缺角的正方形”,这些“正方形”的中心在先前正方形的角上,它们的边长是先前正方形的一半(如图
题型:不详
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一个纸质的正方形“仙人掌”,假设“仙人掌”在不断地生长,新长的叶子是“缺角的正方形”,这些“正方形”的中心在先前正方形的角上,它们的边长是先前正方形的一半(如图).若第1个正方形的边长是1,则生长到第4次后,所得图形的面积是______.
答案
由于第一个正方形的边长为1,则第二、第三、第四个正方形的边长为
1
2
、
1
4
、
1
8
,
∴第二次新生成图形的面积为:
1
2
×
1
2
×
3
4
×2=
3
8
,
第三次新生成图形的面积为:
1
4
×
1
4
×
3
4
×4=
3
16
,
∵由题可得生长到第4次所得缺角正方形的边长为:
1
8
,
又∵缺角三角形的中心在先前正方形的角上,
∴它少了
1
4
的面积,即剩
3
4
,
所以一个缺角三角形的面积是
(
1
8
)
2
×
3
4
=
3
256
,
总共的面积=
3
256
×8=
3
32
,
则生长到第4次后,所得图形的面积是=1+
3
8
+
3
16
+
3
32
=1
23
32
.
故答案为:
109
64
.
举一反三
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
(1)如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证:DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断(1)中的结论①、②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论.(所写结论均不必证明)
题型:不详
难度:
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如图,在正方形ABCD中,DC的中点为E,F为CE的中点,求证:∠DAE=
1
2
∠BAF.
题型:不详
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一个边长为1的正方形,以它的对角线为边向外做第二个正方形,再以第二个正方形的对角线为边向外作第三个正方形,以此类推,则第四个正方形的边长为______,第n个正方形的边长为______.
题型:不详
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附加题:E是四边形ABCD中AB上一点(E不与A、B重合).
(1)如图,当四边形ABCD是正方形时,△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系?证明你的结论.
(2)若四边形ABCD是矩形时,(1)中的结论是否仍然成立?为什么?ABCD是平行四边形呢?
(3)当四边形ABCD是梯形时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
题型:不详
难度:
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边长为4的正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,作PE⊥PB交直线CD于点E,设PA=x,S
△PCE
=y,
(1)求证:DF=EF;
(2)当点P在线段AO上时,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(3)在点P的运动过程中,△PEC能否为等腰三角形?如果能够,请直接写出PA的长;如果不能,请简单说明理由.
题型:不详
难度:
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