(1)如图,以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF,判断四边形ADFE的形状; (2)在(1)中,是否存在平行四边形ADFE?若存在,写出△A
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(1)如图,以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF,判断四边形ADFE的形状; (2)在(1)中,是否存在平行四边形ADFE?若存在,写出△ABC应满足的条件;若不存在,请说明理由; (3)△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是矩形? (4)△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是菱形? (5)△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是正方形? |
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答案
解:(1)∵△ABE、△CBF是等边三角形, ∴BE=AB,BF=CB,∠EBA=∠FBC=60°; ∴∠EBF=∠ABC=60°﹣∠ABF; ∴?△EFB≌△ACB; ∴EF=AC=AD; 同理由△CDF≌△CAB, 得DF=AB=AE; 由AE=DF,AD=EF即可得出四边形AEFD是平行四边形; (2)存在,且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°; 证明:当∠BAC=60°时, ∵△ABE、△ACD是等边三角形, ∴∠BAE=∠CAD=60°; 若∠BAC=60°, 则E、A、D三点共线,A、E、F、D够不成四边形; 当∠BAC≠60°时,由(1)知四边形AEFD是平行四边形; 故存在平行四边形AEFD,且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°; (3)若∠BAC=150°,则平行四边形AEFD是矩形; ∴∠EAD=360°﹣150°﹣60°﹣60°=90°; 即△ABC满足∠BAC=150°时, 四边形AEFD是矩形; (4)若AE=AD,则平行四边形AEFD是菱形; 此时AE=AB=AC=AD, 即△ABC是等腰三角形; 故△ABC满足AB=AC时,四边形AEFD是菱形; (5)综合(3)(4)的结论知:当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时,四边形AEFD是正方形. |
举一反三
下列说法中:(1)四边相等的四边形是正方形;(2)等腰梯形的对角互补;(3)有两个角是直角的四边形是直角梯形;(4)矩形的对角线互相垂直.其中正确的是( )(填序号) |
四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,设有下列条件:①AB=AD;②∠DAB=90°;③AO=CO,BO=DO;④矩形ABCD;⑤菱形ABCD,⑥正方形ABCD,则下列推理不成立的是 |
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A.①④⑥ B.①③⑤ C.①②⑥ D.②③④ |
如图,E是正方形ABCD的边BC延长线上的点,且CE=AC. (1)求∠ACE、∠CAE的度数. (2)若AB=3cm,请求出△ACE的面积. |
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如图,将边长为16cm的正方形纸片ABCD折叠,使点A落在CD边的中点E处,点B落在点F处,折痕为MN,则线段DM的长为( )cm. |
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如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是 |
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A.AB=BC时,它是菱形 B.AC⊥BD时,它是菱形 C.∠ABC=90°时,它是矩形 D.AC=BD时,它是正方形 |
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