如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB.求证:四边形BEDF是正方形.

如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB.求证:四边形BEDF是正方形.

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如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB.
求证:四边形BEDF是正方形.
答案
证明:∵∠ABC=90°,DE⊥BC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°.
∴四边形BEDF为矩形.
又∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,
∴DF=DE.
∴矩形BEDF为正方形.
举一反三
如图所示,四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的.
求证:四边形EFGH是正方形.
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(拓展创新)一位女士想买一条方纱巾,有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但她拿起来看时感觉纱巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让女士看另一组对角是否对齐,如图所示,女士还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让女士检验,女士终于买下这块纱巾,你认为女士买的这块纱巾是正方形的吗?当时采用什么方法可以检验出来?
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如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,以点O为一个顶点作正方形A"B"C"O,且
2OA">AC,说明正方形A"B"C"O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积不变.
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如图所示,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一直角边与
∠CBM的平分线BF相交于点F.
(1)如图1所示,当点E在AB边的中点位置时:
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 _________
②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 _________
③请证明你的上述两个猜想;
(2)如图2所示,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.
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P为正方形ABCD的对角线AC上任一点,若,则点P到AB、BC的距离之和为(    ).
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