(1)证明:过点M分别作MG⊥AB,MH⊥CD,垂足为点G、H, ∵点M是边BC的中点, ∴BM=CM, ∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD, ∴∠B=∠C=60°, 又∵MG⊥AB,MH⊥CD, ∴∠BGM=∠CHM=90°, 在△BGM与△CHM中,
| ∠B=∠C=60° | ∠BGM=∠CHM=90° | BM=CM |
| | , ∴△BGM≌△CHM(AAS), ∴MG=MH,∠BMG=∠CMH=30°, 即得∠GMH=∠EMF=120°, 又∵∠EMF=∠EMG+∠GMF,且∠GMH=∠GMF+∠FMH, ∴∠EMG=∠FMH, 在△EGM与△FHM中,
| ∠EMG=∠FMH | ∠BGM=∠CHM=90° | MG=MH |
| | , △EGM≌△FHM(AAS), ∴ME=MF;
(2)当点E、F在边AB、CD上移动时,五边形AEMFD的面积的大小不会改变. 证明:∵△EGM≌△FHM, ∴S△EMG=S△FMH, ∴S五边形AEMFD=S五边形AGMHD;
(3)方法一:连接AM(在备用图一), 当点E、F恰好是边AB、CD的中点,且AB=CD,得BE=CF. 又∵ME=MF,BM=CM, ∴△BEM≌△CFM(SSS), ∴∠BME=∠CMF, ∵∠EMF=120°, ∴∠BME=(∠180°-∠EMF)=(180°-120°)=30°, 又∵∠B=60°, ∴∠BEM=180°-60°-30°=90°, ∵点E是边AB的中点, ∴ME是边AB的垂直平分线, ∴MA=MB, ∵∠B=60°, ∴△ABM是等边三角形, ∴∠AMB=60°, ∴∠AMB=∠C. ∴AM∥CD, 又∵AD∥MC, ∴四边形AMCD是平行四边形, ∴AD=CM, ∵BC=8,BM=CM, ∴CM=4, ∴AD=CM=4.
方法二:当点E、F恰好是边AB、CD的中点,且AB=CD,得BE=CF. 又∵ME=MF,BM=CM, ∴△BEM≌△CFM(SSS), ∴∠BME=∠CMF, ∵∠EMF=120°, ∴∠BME=(∠180°-∠EMF)=(180°-120°)=30°, 又∵∠B=60°, ∴∠BEM=180°-60°-30°=90°, ∵∠BME=30°, ∴BE=BM=2, ∵E是边AB的中点, ∴AB=4, 分别过点A、D作AK⊥BC,DL⊥BC,垂足为点K、L(在备用图二中). ∵∠B=60°, ∴BK=AB=2, 同理可得,CL=2, ∴KL=8-2-2=4, ∵AK⊥BC,DL⊥BC,AD∥BC, ∴四边形AKLD是矩形, ∴AD=KL=4.
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