(附加题)工人师傅有两块板材边角料,其中一块是边长60cm的正方形板材;另一块是上底为30cm,下底为120cm,高为60cm的直角梯形板材(如下图①).工人师

(附加题)工人师傅有两块板材边角料,其中一块是边长60cm的正方形板材;另一块是上底为30cm,下底为120cm,高为60cm的直角梯形板材(如下图①).工人师

题型:不详难度:来源:
(附加题)工人师傅有两块板材边角料,其中一块是边长60cm的正方形板材;另一块是上底为30cm,下底为120cm,高为60cm的直角梯形板材(如下图①).工人师傅想将这两块板材裁成两块全等的矩形板材,他将两块板材叠放在一起,使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板材的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域(如图②).由于受材料纹理限制,要求裁出的矩形要以点B为一个顶点.
(1)利用图②,求FC的长;
(2)如图③,若矩形的一个顶点P在线段EF上,P点到BG的距离为PN,试证明:
PN
NG
=
2
3

(3)利用图③,求顶点B所对的顶点P到BC的距离PN为多少时,矩形PMBN的面积最大?最大面积是多少?
答案
(1)根据题意,ED=60-30=30cm,CG=120-60=60cm,
∵正方形的对边平行,
∴ADBG,
DF
FC
=
ED
CG

DF
FC
=
30
60
=
1
2

又∵CD=60cm,
∴FC=
2
1+2
×60=40cm;

(2)证明:∵P点到BG的距离为PN,
∴PN⊥BC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC⊥BC,
∴△GCF△GPN,
PN
NG
=
FC
CG

PN
NG
=
40
60
=
2
3


(3)设BN为x,则NG=120-x,
根据(2)可得,PN=
2
3
NG=
2
3
(120-x),
∴矩形PMBN的面积=BN•PN=x•
2
3
(120-x)=-
2
3
(x2-120x)=-
2
3
(x-60)2+2400,
∴当x=60时,矩形PMBN的面积最大,
此时PN=
2
3
(120-x)=
2
3
(120-60)=40cm,
最大面积值是2400cm2
举一反三
四边形ABCD为直角梯形,ADBC,AD=36cm,BC=39cm,点P、Q分别在AD、BC上,且CQ=3AP.当AP为何值时
(1)四边形PQCD为平行四边形;
(2)四边形ABQP的面积等于四边形PQCD的面积.
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如图,在直角梯形ABCD中,中位线EF=5,垂直于底的腰AB=6,那么图中梯形ABCD的面积是______.
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梯形ABCD中,ADBC,腰AB、CD的中点连线EF=5,且AD=3,则BC=______.
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下列说法中正确的个数是(  )
(1)一组对边平行的四边形是梯形;(2)等腰梯形的对角线相等;
(3)等腰梯形的两个底角相等;(4)等腰梯形有一条对称轴.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=5,则这个梯形中位线的长等于______.
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