解:(1)过点N作BA的垂线NP,交BA的延长线于点P. 由已知,AM=x,AN=20﹣x. ∵四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠D=∠C=30°, ∴∠PAN=∠D=30度. 在Rt△APN中,PN=ANsin∠PAN= (20﹣x), 即点N到AB的距离为 (20﹣x). ∵点N在AD上,0≤x≤20,点M在AB上,0≤x≤15, ∴x的取值范围是0≤x≤15. (2)根据(1)S△AMN= AMNP= x(20﹣x)=﹣ x2+5x. ∴ <0, ∴当x=10时,S△AMN有最大值. 又∵S五边形BCDNM=S梯形﹣S△AMN,且S梯形为定值, ∴当x=10时,S五边形BCDNM有最小值. 当x=10时,即ND=AM=10,AN=AD﹣ND=10, 即AM=AN.则当五边形BCDNM面积最小时,△AMN为等腰三角形. |