如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E。（1）求证：AB=DC；（2）若tanB=2，AB=，求边

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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E。

（1）求证：AB=DC；
（2）若tanB=2，AB=，求边BC的长。

答案

解：（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BCA=∠E，
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCA，
∴∠BCD=2∠E，
又∵∠B=2∠E，
∴∠B=∠BCD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC；
（2）如图，作AF⊥BC，DG⊥BC，
垂足分别为F，G，则AF∥DG，
在Rt△AFB中，tanB=2，
∴AF=2BF，
又∵AB=，且AB²=AF²+BF²，
∴5=4BF²+BF²，得BF=1，
同理可知，在Rt△DGC中，CG=1，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∵DC=AB=，
∴AD=，
∵AD∥BC，AF∥DG，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∴FG=AD=，
∴BC=BF+FG+GC=2+。