如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5。点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E

题型：专项题难度：来源：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5。点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F。
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值；
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

答案

解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH，
∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1，
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH==3，
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4，
∴。（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为矩形，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B，
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS），
∴AE=BF，
设AE=x，则EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴，
∴ME=，
∴，
当x=时，ME=<4，
∴四边形MEFN面积的最大值为。
（3）能。
由（2）可知，设AE=x，则EF=7-2x，ME=，
若四边形MEFN为正方形，则ME=EF，
即，解得，
∴，
∴四边形MEFN能为正方形，其面积为。