如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）当点D在斜边AB内部时，求证：CD2-BD2BC2=AD-BDAB．（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等

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如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）当点D在斜边AB内部时，求证：CD2-BD2BC2=AD-BDAB．（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等

题型：不详难度：来源：
如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）当点D在斜边AB内部时，求证：
CD2-BD2
BC2
=
AD-BD
AB
．
（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由．
（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由．
答案
证明：（1）作DE⊥BC，垂足为E．由勾股定理得
CD2-BD2=(CE2+DE2)-(BE2+DE2)
=CE2-BE2=(CE-BE)BC.

所以
CD2-BD2
BC2
=
CE-BE
BC
=
CE
BC
-
BE
BC
．
因为DE∥AC，所以
CE
BC
=
AD
AB
，
BE
BC
=
BD
AB
．
故
CD2-BD2
BC2
=
AD
AB
-
BD
AB
=
AD-BD
AB
．

（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立．
此时有AD=0，CD=AC，BD=AB．
所以
CD2-BD2
BC2
=
AC2-AB2
BC2
=
-BC2
BC2
=-1，
AD-BD
AB
=
-AB
AB
=-1．
从而第（1）小题中的等式成立．

（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立．

作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则
CD2-BD2
BC2
=
CE2-BE2
BC2
=-
CE+BE
BC
=-1-
2CE
BC
，

而
AD-BD
AB
=
-AB
AB
=-1，
所以
CD2-BD2
BC2
≠
AD-BD
AB
．
举一反三
如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）
A．5cmB．5.4cmC．6.1cmD．7cm

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如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（　　）
A．600mB．500mC．400mD．300m

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在三角形ABC中，∠A=30°，tanB=
1
3
，BC=


10
，则三角形ABC的周长为______．
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如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
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一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______米．
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