图（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2），经过第2次“生长”后变

题型：不详难度：来源：

图（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2），经过第2次“生长”后变成图（3），经过第3次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”．已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律，请你利用这一规律求经过第10次“生长”后的图中所有正方形的面积和为：______．

答案

图（2）：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a²+b²=c²，
即：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1；
所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1；
图（3）正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，
正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，
正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积
=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，
所有正方形的面积之和为3=（2+1）×1
…
推而广之，“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）×1，
则：“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1）×1=11．
故答案为：11．