如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BOC=108°,过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E,连接OE,DE=12AB,OD=2.(1)求∠CDB的

如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BOC=108°,过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E,连接OE,DE=12AB,OD=2.(1)求∠CDB的

题型:不详难度:来源:
如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BOC=108°,过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E,连接OE,DE=
1
2
AB,OD=2.
(1)求∠CDB的度数;
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比


5
-1
2

①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;
②求弦CE的长;
③在直线AB或CD上是否存在点P(点C、D除外),使△POE是黄金三角形?若存在,画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.
答案
(1)∵AB是⊙O的直径,DE=
1
2
AB,
∴OA=OC=OE=DE,
则∠EOD=∠CDB,∠OCE=∠OEC,
设∠CDB=x,则∠EOD=x,∠OCE=∠OEC=2x,
又∠BOC=108°,∴∠CDB+∠OCD=108°,
∴x+2x=108,x=36°.
∴∠CDB=36°.

(2)①有三个:△DOE,△COE,△COD.
∵OE=DE,∠CDB=36°,
∴△DOE是黄金三角形;
∵OC=OE,∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°.
∴△COE是黄金三角形;
∵∠COB=108°,
∴∠COD=72°;
又∠OCD=2x=72°,
∴∠OCD=∠COD.
∴OD=CD,
∴△COD是黄金三角形;

②∵△COD是黄金三角形,
OC
OD
=


5
-1
2

∵OD=2,
∴OC=


5
-1,
∵CD=OD=2,DE=OC=


5
-1,
∴CE=CD-DE=2-(


5
-1)=3-


5


③存在,有三个符合条件的点P1、P2、P3
如图所示,
ⅰ以OE为底边的黄金三角形:作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2
ⅱ以OE为腰的黄金三角形:点P3与点A重合.
举一反三
要设计一座2m高的维纳斯女神雕像(如图),使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点,这个比值叫做黄金分割比.试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比?(结果精确到0.001)
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(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果
AP
BP
=
BP
AB
,那么称点P为线段AB的黄金分割点,设
AP
BP
=
BP
AB
=k,则k就是黄金比,并且k≈0.618.

(1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰△APB(如图2),等腰△APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为:满足
=
底+腰
≈0.618的等腰三角形是黄金三角形;类似地,请你给出黄金矩形的定义:______;
(2)如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为0.618;
(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分(设S1<S2),如果
S1
S2
=
S2
S
,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点,那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗?请说明理由;
(4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条?
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如图,已知点P是线段AB的黄金分割点,且AB=


5
+1
,则AP=______.
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如图,已知点P是线段AB的黄金分割点,AP>PB,若AB=1,则AP长约为(  )
A.1B.0.618C.0.5D.0.382

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如图,乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A、B固定在乐器板面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,则支撑点C到端点A的距离约为______cm.(


5
≈2.236
,结果精确到0.01)
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