试题分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确;先证明△ABM∽△ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确;先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,从而得到∠MPN=60°,又由①得PM=PN,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确;当∠ABC=45°时,∠BCN=45°,由P为BC边的中点,得出BN=PB=PC,判断④正确. 试题解析:①∵BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点, ∴PM=BC,PN=BC, ∴PM=PN,正确; ②在△ABM与△ACN中, ∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°, ∴△ABM∽△ACN, ∴ ,正确; ③∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N, ∴∠ABM=∠ACN=30°, 在△ABC中,∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°, ∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB, ∴PM=PN=PB=PC, ∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM, ∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°, ∴∠MPN=60°, ∴△PMN是等边三角形,正确; ④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB于点N, ∴∠BNC=90°,∠BCN=45°, ∴BN=CN, ∵P为BC边的中点, ∴PN⊥BC,△BPN为等腰直角三角形 ∴BN=PB=PC,正确. 考点: 1.相似三角形的判定与性质;2.等边三角形的判定;3.直角三角形斜边上的中线. |