试题分析:(1)AP=PD.理由如下:如图①,连接OP.利用圆周角定理知OP⊥AD.然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD; (2)由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线,则PC∥DO,所以根据平行线的性质易求弧AD所对的圆心角∠AOD=60°,从而求出弧AD的长; (3)分类讨论:点E落在线段OA和线段OB上,这两种情况下的y与x的关系式.这两种情况都是根据相似三角形(△APO∽△AED)的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式. 试题解析:(1)AP="PD." 理由如下: 如图①,连接OP,OD, ∵OA是半圆C的直径,∴∠APO=90°,即OP⊥AD. 又∵OA=OD,∴AP=PD. (2)如图①,连接PC、OD.由(1)知,AP=PD. 又∵AC=OC,∴PC∥OD. ∴∠AOD=∠ACP=60°. ∵AB=8,∴OA=4.∴弧AD的长=.
(3)分两种情况: ①当点E落在OA上(即0<x≤时),如图②,连接OP,则∠APO=∠AED. 又∵∠A=∠A,∴△APO∽△AED.∴. ∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4﹣y,∴.∴(0<x≤). ②当点E落在线段OB上(即<x<4)时,如图③, 连接OP,同①可得,△APO∽△AED.∴. ∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4+y,∴.∴(<x<4). 综上所述,y与x之间的函数关系式为.
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