提出问题如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.类比探究如图
题型:不详难度:来源:
提出问题
如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN. 类比探究 如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由. 拓展延伸 如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由. |
答案
(1)证明见试题解析;(2)成立,理由见试题解析;(3)∠ABC=∠ACN,理由见试题解析. |
解析
试题分析:(1)利用SAS可证明△BAM≌△CAN,继而得出结论; (2)也可以通过证明△BAM≌△CAN,得出结论,和(1)的思路完全一样; (3)首先得出∠BAC=∠MAN,从而判定△ABC∽△AMN,得到,根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,得到∠BAM=∠CAN,从而判定△BAM∽△CAN,得出结论. 试题解析:(1)∵△ABC、△AMN是等边三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,∴∠BAM=∠CAN,∵在△BAM和△CAN中,,∴△BAM≌△CAN(SAS),∴∠ABC=∠ACN; (2)结论∠ABC=∠ACN仍成立.理由如下: ∵△ABC、△AMN是等边三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,∴∠BAM=∠CAN,∵在△BAM和△CAN中,,∴△BAM≌△CAN(SAS),∴∠ABC=∠ACN; (3)∠ABC=∠ACN.理由如下: ∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,∴底角∠BAC=∠MAN,∴△ABC∽△AMN,∴,则,又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,∴∠BAM=∠CAN,∴△BAM∽△CAN,∴∠ABC=∠ACN. |
举一反三
已知相似且对应边上的高之比为,若的周长为8,则的周长为 。 |
如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=,则△EFC的周长为( )
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在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.
(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD. (2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值. |
若两个相似三角形的面积之比为1:4,则它们的周长之比为( ) |
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