如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD
题型:不详难度:来源:
如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论; ②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、图3的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断. (2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD2+AF2的值. |
答案
解:(1)①BF=AD,BF⊥AD。 ②BF=AD,BF⊥AD仍然成立。证明如下: ∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC。 ∵四边形CDEF是正方形,∴CD=CF,∠FCD=90°。 ∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,即∠BCF=∠ACD。 在△BCF和△ACD中,∵BC=AC,∠BCF=∠ACD,CF=CD, ∴△BCF≌△ACD(SAS)。∴BF=AD,∠CBF=∠CAD。 又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°,∴∠CAD+∠AHO=90°。∴∠AOH=90°。 ∴BF⊥AD。 (2)连接DF,
∵四边形CDEF是矩形,∴∠FCD=90°。 又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠FCD。 ∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,即∠BCF=∠ACD。 ∵AC=4,BC=3,CD=,CF=1, ∴B。∴△BCF∽△ACD。∴∠CBF=∠CAD。 又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°,∴∠CAD+∠AHO=90°。∴∠AOH=90°。 ∴BF⊥AD。∴∠BOD=∠AOB=90°。 ∴BD2=OB2+OD2,AF2=OA2+OF2,AB2=OA2+OB2,DF2=OF2+OD2。 ∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2。 ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB2=AC2+BC2=32+42=25。 ∵在Rt△FCD中,∠FCD=90°,CD=,CF=1,∴。 ∴。 |
解析
试题分析:(1)①证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC,BF=AD,即可得出结论。 ②证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC,BF=AD,即可得出结论。 (2)连接FD,根据(1)得出BO⊥AD,根据勾股定理得出BD2=OB2+OD2,AF2=OA2+OF2,AB2=OA2+OB2,DF2=OF2+OD2,推出BD2+AF2=AB2+DF2,即可求出答案。 |
举一反三
如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则的值为 ; (2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求的值; (3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且使AP:PC=1:2时,如图3,的值是否变化?证明你的结论. |
如图,△ABO缩小后变为△A′B′O,其中A、B的对应点分别为A′、B′,A′、B′均在图中格点上,若线段AB上有一点P(m,n),则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为
A、 B、(m,n) C、 D、 |
已知,如图,ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1),解答下列问题:
(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形? (2)设四边形ANPM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半,若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由 (4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分?若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由 |
在平面坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去,第2012个正方形的面积为
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在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A,与y轴交于点C,点B的坐标为(a,0),(其中a>0),直线l过动点M(0,m)(0<m<2),且与x轴平行,并与直线AC、BC分别相交于点D、E,P点在y轴上(P点异于C点)满足PE=CE,直线PD与x轴交于点Q,连接PA.
(1)写出A、C两点的坐标; (2)当0<m<1时,若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形(注:若△HNK满足HN=2HK,则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形),求出m的值; (3)当1<m<2时,是否存在实数m,使CD•AQ=PQ•DE?若能,求出m的值(用含a的代数式表示);若不能,请说明理由. |
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