如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边A

如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边A

题型:不详难度:来源:
如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.

(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则的值为     
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求的值;
(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且使AP:PC=1:2时,如图3,的值是否变化?证明你的结论.
答案
解:(1)
(2)如答图1,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则PM⊥PN。

∵PM⊥PN,PE⊥PF,∴∠EPM=∠FPN。
又∵∠PME=∠PNF=90°,∴△PME∽△PNF。

由(1)知,

(3)变化。证明如下:
如答图2,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则PM⊥PN,PM∥BC,PN∥AB。

∵PM∥BC,PN∥AB,
∴∠APM=∠PCN,∠PAM=∠CPN。
∴△APM∽△PCN。
,得CN=2PM。
在Rt△PCN中,

∵PM⊥PN,PE⊥PF,∴∠EPM=∠FPN。
又∵∠PME=∠PNF=90°,∴△PME∽△PNF。

的值发生变化
解析

试题分析:(1)证明△APE≌△PCF,得PE=CF;在Rt△PCF中,解直角三角形求得的值:
∵矩形ABCD,∴AB⊥BC,PA=PC。
∵PE⊥AB,BC⊥AB,∴PE∥BC。∴∠APE=∠PCF。
∵PF⊥BC,AB⊥BC,∴PF∥AB。∴∠PAE=∠CPF。
∵在△APE与△PCF中,∠PAE=∠CPF,PA=PC,∠APE=∠PCF,
∴△APE≌△PCF(ASA)。∴PE=CF。
在Rt△PCF中,,∴
(2)如答图1所示,作辅助线,构造直角三角形,证明△PME∽△PNF,并利用(1)的结论,求得的值;
(3)如答图2所示,作辅助线,构造直角三角形,首先证明△APM∽△PCN,求得;然后证明△PME∽△PNF,从而由求得的值。与(1)(2)问相比较,的值发生了变化。 
举一反三
如图,△ABO缩小后变为△A′B′O,其中A、B的对应点分别为A′、B′,A′、B′均在图中格点上,若线段AB上有一点P(m,n),则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为

A、      B、(m,n)       C、       D、 
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已知,如图,ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1),解答下列问题:

(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形?
(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半,若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由
(4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分?若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由
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在平面坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去,第2012个正方形的面积为
A.B.C.D.

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在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A,与y轴交于点C,点B的坐标为(a,0),(其中a>0),直线l过动点M(0,m)(0<m<2),且与x轴平行,并与直线AC、BC分别相交于点D、E,P点在y轴上(P点异于C点)满足PE=CE,直线PD与x轴交于点Q,连接PA.

(1)写出A、C两点的坐标;
(2)当0<m<1时,若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形(注:若△HNK满足HN=2HK,则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形),求出m的值;
(3)当1<m<2时,是否存在实数m,使CD•AQ=PQ•DE?若能,求出m的值(用含a的代数式表示);若不能,请说明理由.
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如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD,下列结论错误的是
A.∠C=2∠AB.BD平分∠ABC
C.SBCD=SBODD.点D为线段AC的黄金分割点

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