如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割
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如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割
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如图1,点C将线段AB分成两部分,如果
,那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S
1
、S
2
,如果
,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)如图2,在△ABC中,∠A=36
0
°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D,请问点D是否是AB边上的黄金分割点,并证明你的结论;
(2)若△ABC在(1)的条件下,如图(3),请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线,并证明你的结论;
(3)如图4,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90
0
,对角线AC、BD交于点F,延长AB、DC交于点E,连接EF交梯形上、下底于G、H两点,请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线,并证明你的结论.
答案
(1)点D是AB边上的黄金分割点(2)直线CD是△ABC的黄金分割线(3)GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线
解析
解:(1)点D是AB边上的黄金分割点,证明如下:
∵∠A=36
0
°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72
0
。
∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=36
0
。∴∠BDC=∠B=72
0
。
∵∠A=∠BCD,∠B=∠B,∴△BCD∽△BAC。∴
。
又∵BC=CD=AD,∴
。
∴点D是AB边上的黄金分割点。
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线,证明如下:
设△ABC的边AB上的高为h,则
,
∴
。
∵D是AB的黄金分割点,∴
。∴
。
∴直线CD是△ABC的黄金分割线。
(3)GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线,证明如下:
∵BC∥AD,∴△EBG∽△EAH,△EGC∽△EHD。∴
。
∴
,即
。
同理,由△BGF∽△DHF,△CGF∽△AHF得
,即
。
∴
。∴AH=HD。∴BG=GC。
∴梯形ABGH与梯形GHDH上下底分别相等,高也相等。
∴
。
∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线。
(1)由等腰三角形角和边的关系,根据△BCD∽△BAC得到
而证明。
(2)根据黄金分割线的定义证明直线CD是△ABC的黄金分割线。
(3)反复应用相似三角形的相似比得出梯形ABGH与梯形GHDH上下底分别相等,高也相等的结论,从而得到GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线的结论。
举一反三
已知△ABC和△A′B′C″是位似图形.△A′B′C′的周长是△ABC的一半, AB="8" cm,则A′B′等于
A.64 cm
B.16 cm
C.12 cm
D.4 cm
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如果两个相似三角形的面积比是1∶2,那么它们的周长比是( )
A.
B.
C.
D.
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锐角
中,
,
,两动点
分别在边
上滑动,且
,以
为边向下作正方形
,设其边长为
,正方形
与
公共部分的面积为
.
(1)
中边
上高
;
(2)当
时,
恰好落在边
上(如图1);
(3)当
在
外部时(如图2),求
关于
的函数关系式(注明
的取值范围),并求出
为何值时
最大,最大值是多少?
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如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=
AB,点E、F分别为AB,AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为
A.
B.
C.
D.
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A.2cm,3cm
B.4cm,5cm
C.5cm,6cm
D.6cm,7cm
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