如图，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿

题型：不详难度：来源：

如图，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s．

（1）设点Q的运动速度为 cm/s．
①当△DPQ的面积最小时，求t的值；
②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）①t="6" ②t=－6＋2 （2）①a=

解析

试题分析：（1）①S_△DPQ=S_矩形ABCD－S_△DAP－S_△PBQ－S_△QCD
=60－×6×t－×(10－t)×t－×10×(6－t)
=t²－3t＋30
=(t－6)²＋21．
∵0≤t≤10，∴当t="6" s时，S_△DPQ的最小值为21 cm²．
②当△DAP∽△QBP相似时，有．
即，解得t₁=－6＋2，t₂=－6－2（舍去）．
∴t=－6＋2时，△DAP∽△QBP．
（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，

则AP=t，AQ=at．以下分4种情况进行讨论．
①当∠1＝∠3＝∠4时，有．
∴，解得t₁=2，t₂=18（舍去）．
此时a=．
②当∠1＝∠3＝∠5时，有∠DPQ＝∠PQD＝∠PDQ＝90°．
此等式不成立．∴不存在这样的a值．
③当∠1＝∠2＝∠4时，有．
∴，即有整理，得5t²－36＋180=0，△＜0，方程无实数解．
∴不存在这样的a值．
④当∠1＝∠2＝∠5时，∵AB∥DC，∴∠1＝∠PDC＞∠5．故不存在这样的a值．
综上所述，存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，此时a=
点评：该题分析时较为复杂，以图形的边长为路程，分析时间的变动，以及角的变化，是常考题。