如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作

如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上的一动点,连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF.

(1)当∠AOB=30°时,求弧AB的长;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
;3;存在
解析

试题分析:(1)连结BC,  
∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,
∵∠AOB=30°,
∴∠ACB="2∠AOB=60°,"
∴弧AB的长=;……4分

(2)连结OD,
∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,
又∵AB=BD,
∴OB是AD的垂直平分线,
∴OD=OA=10,
在Rt△ODE中,
OE=,
∴AE=AO-OE=10-6=4,
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,
得△OEF∽△DEA,
,即,∴EF=3;……8分
(3)设OE=x,
①当交点E在O,C之间时,由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB,当∠ECF=∠BOA时,此时△OCF为等腰三角形,点E为OC中点,即OE=
∴E1(,0);
当∠ECF=∠OAB时,有CE=5-x,AE=10-x,
∴CF∥AB,有CF=,
∵△ECF∽△EAD,
,即,解得:,
∴E2(,0);

②当交点E在点C的右侧时,
∵∠ECF>∠BOA,
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,
连结BE,
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线,
∴BE=AB=BD,
∴∠BEA=∠BAO,
∴∠BEA=∠ECF,
∴CF∥BE,∴,
∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED,∴,
而AD=2BE,∴,
,解得,<0(舍去),
∴E3(,0);

③当交点E在点O的左侧时,
∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.
∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO
连结BE,得BE==AB,∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA,
∴CF∥BE,
,
又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠,
∴△CEF∽△AED,∴
而AD=2BE,∴,
,解得,<0(舍去),
∵点E在x轴负半轴上,∴E4(,0),
综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为:
,0)、,0)、,0)、,0).(12分)
点评:解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质:相似三角形的对应边成比例,注意对应字母在对应位置上.
举一反三
如图,为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度,小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD,然后退到点E处,此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合;小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1,然后退到点E1处,此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m,量得CE=2m,EC1=6m,C1E1=3m。
(1)△FDM∽△        ,△F1D1N∽△      
(2)求电线杆AB的高度。
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如图,的边分别相交于两点,且
.若AD:BD=3:1, DE=6,则BC等于(    ).
A. 8B.C.D. 2

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如图,在边长均为1的小正方形网格纸中,△的顶点均在格点上,且是直角坐标系的原点,点轴上.

(1)以O为位似中心,将△放大,使得放大后的△与△对应线段的比为2∶1,画出△ .(所画△与△在原点两侧).
(2)求出线段所在直线的函数关系式.
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如图,菱形ABCD和菱形ECGF,且B、C、G共线,若菱形ABCD的边长4,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是(   )

A.            B.4            C.         D.
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如图,正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM=         ,四边形ABCN的面积最大。
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