△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,把一个三角板的直角顶点放在点D处,将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .(1)

△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,把一个三角板的直角顶点放在点D处,将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .(1)

题型:不详难度:来源:
△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,把一个三角板的直角顶点放在点D处,将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .

(1)如图1,观察旋转过程,猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论;
(2)如图2,若连接EF,试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系,直接写出你的结论
(不需证明);
(3)如图3,若将“AB=AC,点D是BC的中点”改为:“∠B=30°,AD⊥BC于点D”,其余条件不变,探索(1)中结论是否成立?若不成立,请探索关于AF、BE的比值.
答案
(1)BE=AF;(2);(3)
解析

试题分析:(1)连接AD,利用等腰三角形中的三线合一,即可证得AD=BD=DC=BC,∠ADB=∠ADC=90°,又由同角的余角相等,证得∠5=∠4,则可得△BDE≌△ADF,则AF=BE;
(2)由(1)可得AF=BE,AE=CF,又由勾股定理,即可得到
(3)可证得有两角对应相等,所以可得△BDE∽△ADF,利用三角函数即可求得比值.
(1)如图,连接AD,

∵AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC的中点
∴AD=BD=DC=BC,∠ADB=∠ADC=90°
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°
∴∠3+∠5==90°
∵∠3+∠4==90°
∴∠5=∠4
∵BD=AD
∴△BDE≌△ADF.
∴BE=AF;
(2)根据(1)可得BE=AF,
所以AB-BE=AC-AF,即AE=FC,
∵∠BAC=90°,


(3)(1)中的结论BE=AF不成立.  

∵∠B=30°,AD⊥BC于点D,∠BAC=90°,
∴∠3+∠5==90°,  ∠B+∠1==90°.
∵∠3+∠4==90°,∠1+∠2==90°    
∴∠B="∠2" ,  ∠5=∠4.
∴△BDE∽△ADF.
.
点评:此题图形变化很多,而且图形复杂,属于中等难度的题目,解题时要注意数形结合思想的应用.
举一反三
下列生活中的现象,属于相似变换的是
A.抽屉的拉开B.汽车刮雨器的运动
C.坐在秋千上人的运动D.投影片的文字经投影变换到屏幕

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两个相似三角形,他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15,周长较小的三角形的最小边为3,则周长较大的三角形的面积是(   )
A.52B.54C.56D.58.

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如图所示,给出下列条件:

;②;③;④
其中单独能够判定的有(     )
A.①②③④B.①②③C.①②④D.①②.

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已知D、E分别是的AB、AC边上的点,.那么等于(   )

A. :
B. :
C. :
D. :
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知D、E分别是的AB、 AC边上的点,. 那么等于    
题型:不详难度:| 查看答案
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