如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.(1)求证:AB·AF=CB·CD;(2)已
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如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.(1)求证:AB·AF=CB·CD;(2)已
题型:不详
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如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:AB·AF=CB·CD;
(2)已知AB=15 cm,BC=9 cm,P是射线DE上的动点.设DP=x cm(
),四边形BCDP的面积为y cm
2
.
①求y关于x的函数关系式;
②当x为何值时,△PBC的周长最小,并求出此时y的值.
答案
证明:(1)∵
,
,∴DE垂直平分AC,
∴
,∠DFA=∠DFC =90°,∠DAF=∠DCF.
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,
∴∠DCF=∠DAF=∠B.
∴△DCF∽△ABC.
∴
,即
.
∴AB·AF=CB·CD.
(2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴
,∴
.
∴
(
).
②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.
此时DP=DE,PB+PA=AB.
由(1),
,
,得△DAF∽△ABC.
EF∥BC,得
,EF=
.
∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.
∴AD=10.
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,
∴DF=8.
∴
.
∴当
时,△PBC的周长最小,此时
.
解析
(1)根据已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB,从而利用有两对角对应相等的两三角形相似,得到△DFA∽△ACB,根据相似三角形的对应边成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD;
(2)①根据勾股定理求出AC的长,从而求得CF的长,根据题意四边形BCDP是梯形,根据梯形的面积公式即可得到求y关于x的函数关系式;②根据两点之间线段最短,当点P在AB上时,PA+PB最小即点P与E重合时,△PBC周长最小,从而利用勾股定理分别求得AC、AF、AE、DE的长,从而就求得了x的值.
举一反三
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A.25
B.50
C.75
D.100
题型:不详
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如图,E为平行四边形ABCD的边CB的延长线上一点,DE交AB于点F.则图中与△ADF相似的三角形共有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
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下列命题是真命题的有
①若a>b,则ac
2
>bc
2
②内错角相等
③
=
④分式方程一定有增根
⑤所有正方形都相似
⑥点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),若AC=2,则AB·BC=4
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
题型:不详
难度:
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已知,如图,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=3DB,S
△ABC
=48,则S
△ADE
=_______。
题型:不详
难度:
|
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如图所示,已知四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,可以推出△ABP与△ECP相似的有_______。
①∠APB=∠EPC;②∠APE的平分线垂直于BC;③P是BC的中点;④BP:BC=2:3.
题型:不详
难度:
|
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