如图①,将一个内角为120°的菱形纸片沿较长对角线剪开,得到图②的两张全等的三角形纸片.将这两张三角形纸片摆放成图③的形式.点B、F、C、D在同一条直线上,AB
题型:不详难度:来源:
如图①,将一个内角为120°的菱形纸片沿较长对角线剪开,得到图②的两张全等的三角形纸片.将这两张三角形纸片摆放成图③的形式.点B、F、C、D在同一条直线上,AB分别交DE、EF于点P、M,AC交DE于点N.
(1)求证:△APN≌△EPM. (2)连接CP,试确定△CPN的形状,并说明理由. (3)当P为AB的中点时,求△APN与△DCN的面积比. |
答案
(1)证明见解析(2)直角三角形,理由见解析(3)△APN与△DCN的面积比为3:1 |
解析
(1)由菱形性质得∠A=∠B=∠D=∠E, ∴PB=PD. ………………1分 ∵AB=DE,∴PA=PE.………………………………………………………2分 ∵∠EPM=∠APN, ∴△APN≌△EPM.………………………………………………………3分 (2)∵∠ACB=∠DFE=120°,AC=BC=DF=FE, ∴∠D=∠A=∠B=30°.∴∠ACD=60°.………………………5分 ∴∠CNP=90° ∴△CPN是直角三角形…………………………………………………………6分 (3)∵CA=CB,P为AB中点,∴∠ACP=60° ……………………………………7分 在Rt△CPN中,∴PN:CN=tan60°=:1.………………………………8分 ∵∠D=∠A,∠APN=∠DNC, ∴△ANP∽△DNC. ∴. 即△APN与△DCN的面积比为3:1.……………………………………………9分 (1)我们可以利用菱形的性质及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM. (2)求出∠D、∠ACD的度数,从而得出∠CNP=90°,从而得出△CPN是直角三角形; (3)要求△APN与△DCN的面积比,我们可以根据菱形的性质及已知,得到PN:CN=,根据相似三角形的判定,得到△ANP∽△DNC,即△APN与△DCN的面积比为3:1. |
举一反三
在平面直角坐标系中,顶点的坐标为,若以原点O为位似中心,画的位似图形,使与的相似比等于,则点的坐标为 . |
如图, ΔABC经过相似变换得ΔDEF若∠ABC=20°,∠BCA=40°,AB :DE=2 :1, 则∠EDF的度数是 . |
如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=28:5:3,则∠α的度数为( ). A.60° B.70° C.80° D.90° |
如图,EF是△ABC的中位线,将△AEF沿中线AD的方向平移到△A1E1F1,使线段E1F1落在BC边上,若△AEF的面积为7cm2,则图中阴影部分的面积是 cm2. |
如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在格点上(小正方形的顶点).P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点,使它和点D构成的三角形与△ABC相似, 写出所有符合条件的三角形 . |
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