试题分析:(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以得出BG=FG,从而得出结论; (2)当△BGF为等边三角形时由等边三角形的性质可以得出∠BAC=30°,根据锐角三角函数值就可以求出k的值; (3)根据(1)(2)的结论课得出△BGF是等腰三角形和∠BAC= ∠BGF,根据∠BGF的大小分三种情况讨论就可以求出结论. 试题解析:(1)证明:∵EF⊥AC于点F, ∴∠AFE=90° ∵在Rt△AEF中,G为斜边AE的中点, ∴GF= AE, 在Rt△ABE中,同理可得BG= AE, ∴GF=GB, ∴△BGF为等腰三角形; (2)当△BGF为等边三角形时,∠BGF=60° ∵GF=GB=AG, ∴∠BGE=2∠BAE,∠FGE=2∠CAE ∴∠BGF=2∠BAC, ∴∠BAC=30°, ∴∠ACB=60°, ∴ =tan∠ACB= , ∴当k= 时,△BGF为等边三角形; (3)由(1)得△BGF为等腰三角形,由(2)得∠BAC= ∠BGF, ∴当△BGF为锐角三角形时,∠BGF<90°, ∴∠BAC<45°, ∴AB>BC, ∴k= >1; 当△BGF为直角三角形时,∠BGF=90°, ∴∠BAC=45° ∴AB=BC, ∴k= =1; 当△BGF为钝角三角形时,∠BGF>90°, ∴∠BAC>45° ∴AB<BC, ∴k= <1; ∴0<k<1. |