如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.(1)求证:CM=CN;(2)若△CMN的面积
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如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.(1)求证:CM=CN;(2)若△CMN的面积
题型:不详
难度:
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如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
(1)求证:CM=CN;
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,且CD=4,求线段MN的长.
答案
(1)证明见解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM,由四边形ABCD是矩形,可得∠ANM=∠CMN,则可证得∠CMN=∠CNM,继而可得CM=CN.
(2)首先过点N作NH⊥BC于点H,由△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,易得MC=3ND=3HC,然后设DN=x,由勾股定理,可求得MN的长.
(1)由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM .
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD∥BC .
∴∠ANM=∠CMN .
∴∠CMN=∠CNM .
∴ CM=CN.
(2)如图,过点N作NH⊥BC于点H,则四边形NHCD是矩形.
∴HC=DN,NH=DC.
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,
∴ MC=3ND=3HC.
∴ MH=2HC.
设DN=x,则HC=x,MH=2x,
∴CM=3x=CN.
在Rt△CDN中,DC=2
x=4,
∴
.
∴HM=2
.
在Rt△MNH中,MN=
.
举一反三
阅读下面材料:
小炎遇到这样一个问题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连结EF,则EF=BE+DF,试说明理由.
小炎是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段相对集中.她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,最后发现线段AB,AD是共点并且相等的,于是找到解决问题的方法.她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG,再利用全等的知识解决了这个问题(如图2).
参考小炎同学思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°.若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足
_
关系时,仍有EF=BE+DF;
(2)如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1, EC=2,求DE的长.
题型:不详
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如图,△ABC中,∠ACB=90°,点F在AC延长线上,
,DE是△ABC中位线,如果∠1=30°,DE=2,则四边形AFED的周长是________
题型:不详
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已知:如图,点E、C、D、A在同一条直线上,AB//DF,ED= AB,∠E=∠CPD.
求证:△ABC≌△DEF.
题型:不详
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在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
(1)如图1,点D、E分别是AB、AC边的中点,AF⊥BE交BC于点F,连结EF、CD交于点H.求证,EF⊥CD;
(2)如图2,AD=AE,AF⊥BE于点G交BC于点F,过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P,试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系,并说明理由.
图1 图2
题型:不详
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一个等腰三角形的顶角是
,则它的底角是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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