如图,△ABC是边长为a的等边三角形,D是BC边的中点,过点D分别作AB、AC的垂线,垂足为E、F.(1)计算:AD=           ,(2分)EF=  

如图,△ABC是边长为a的等边三角形,D是BC边的中点,过点D分别作AB、AC的垂线,垂足为E、F.(1)计算:AD=           ,(2分)EF=  

题型:不详难度:来源:
如图,△ABC是边长为a的等边三角形,D是BC边的中点,过点D分别作AB、AC的垂线,垂足为E、F.

(1)计算:AD=           ,(2分)EF=            (2分)(用含a的式子表示);
(2)求证:DE=DF.(6分)
答案
(1);(2)证明详见解析.
解析

试题分析:此题考查了等边三角形的性质与判定,勾股定理,以及含30°直角三角形的性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键所在.(1)由三角形ABC为等边三角形,得到AB=AC=BC=a,由D为BC的中点,可得:,利用三线合一得到AD⊥BC,利用勾股定理求出AD的长;由∠B=60°,DE垂直于AB,得到∠EDB=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出,同理可得,所以AE=AF,进而可得等边三角形AEF。而AE=AB-BE,即可求出EF的长。
(2)由AD为角平分线,且DE垂直于AB,DF垂直于AC,利用角平分线定理即可得到DE=DF.
试题解析:
解:(1)∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC=a,∠B=60°,
又D为BC的中点,

∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,
在Rt△ABD中,根据勾股定理得:

∵在

,同理可得:
∴AB-BE=AC-CF
即:AE=AF
∴△AEF是等边三角形.
∴AE=EF=AF


(2)∵D为BC的中点,AB=AC=BC
∴AD平分∠BAC,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
举一反三
已知,如图所示,折叠长方形OABC的一边BC,使点B落在OA边的点D处,如果AB=8,BC=10,求E的坐标.

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如图,△ABC中,AB=5,BC=11,,点P是BC边上的一个动点,联结AP,取AP的中点M,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN,联结AN,NC.

(1)当点N恰好落在BC边上时,求NC的长;
(2)若点N在△ABC内部(不含边界),设BP=x,CN=y,求y关于x的函数关系式,并求出函数的定义域;
(3)若△PNC是等腰三角形,求BP的长.
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如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,补充下列条件后,仍无法判断△ABE≌△ACD的是(  )
A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC

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在直角三角形中,若两条直角边长分别为6cm和8cm,则斜边上的中线长为   cm.
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如图,已知正方形,点上的一点,连结,以为一边,在的上方作正方形,连结.求证:.

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